FICHES
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I. Calcul Numérique, Calcul Algébrique:
1. Développer ou factoriser une expression algébrique
DEVELOPPER: c'est transformer un produit en somme, selon la règle:
c(a+b) = ca+cb
quels que soient les réels a,b,c.
Après avoir développé une expression, on réduit les termes semblables, puis on ordonne le résultat.
FACTORISER: c'est transformer une somme en produit, selon la règle:
ca+cb = c(a+b)
quels que soient les réels a,b,c.
On commence par bien observer l'expression à factoriser. Si l'on repère un facteur commun aux termes de la somme, alors on peut le factoriser. On peut aussi faire apparaître un facteur commun ou regrouper des termes ou utiliser une égalité remarquable.
En général, il est plus facile de développer que de factoriser .Mais il est indispensable de savoir factoriser, par exemple pour résoudre une équation, ou pour simplifier une fraction algébrique.
2.Effectuer des calculs sur des fractions
Le calcul des fractions, qu'elles soient numériques ou algébriques, comporte quelques difficultés qu'il convient de savoir maîtriser. C'est en particulier le cas du signe (-) devant une fraction: en général, il est affecté, lors d'un calcul, au numérateur de la fraction; lorsque ce numérateur est une somme, il faut penser à introduire les indispensables parenthèses.
L'écriture ne doit pas porter à confusion, et l'on doit voir nettement la place de ce signe (-).
3.Effectuer des calculs sur des puissances
Les règles de calcul sur les puissances valables pour les exposants entiers naturels le sont aussi pour les exposants entiers relatifs.
4.Effectuer des calculs sur des racines carrées
De même que (a+b)² n'est en général pas égal à a²+b², de même Ö(a²+b²) n'est en général pas égal à a+b.
Des nombres tels que a+bÖc et a-bÖc s'appellent deux quantités conjuguées. Leur produit vaut:
(a+bÖc)(a-bÖc) = a²-b²c, et ne contient plus Öc. Il permet de "rendre rationnels" des dénominateurs de fractions, ce qui facilite souvent les calculs.
5.Résoudre une équation à une inconnue
Une équation du premier degré à une inconnue se résout aisément: on la met sous la forme :
ax = b, en regroupant dans un membre les termes qui contiennent l'inconnue, et dans l'autre membre ceux qui ne la contiennent pas.
Cette technique ne convient pas pour résoudre une équation de degré égal ou supérieur à 2. Dans ce cas, il faut au contraire rassembler tous les termes dans un même membre et chercher à factoriser l'expression ainsi obtenue.
2.Nombres et Inégalités
1.Travailler avec des inégalités
Les encadrements (ou inégalités doubles) ont les mêmes propriétés que les inégalités simples: addition membre à membre des encadrements de même sens...
Mais, comme pour les inégalités simples, on n'a pas le droit de les soustraire ni de les diviser. Lorsque l'on veut encadrer une différence (a-b), on commence par encadrer (-b), puis la somme (a+(-b)), c'est à dire (a-b).
De même, pour encadrer un quotient a/b, on encadre 1/b, puis le produit a x (1/b), c'est à dire (a/b).
D'un encadrement, on peut déduire un autre encadrement en agrandissant celui de départ, jamais en le diminuant.
2.Résoudre des inéquations
Pour résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue, on met dans le même membre tous les termes contenant l'inconnue, et dans l'autre membre ceux qui ne la contiennent pas.
Si l'inéquation n'est pas du premier degré, alors au contraire on rassemble tous les termes dans le même membre et on le factorise. On est alors amené à l'étude du signe d'un produit (ou quotient) de facteurs.
La règle des signes s'applique aux quotients comme aux produits.
Il ne faut jamais multiplier (ni diviser) les deux membres d'une inéquation par une même expression dont on ne connaît pas le signe.
3.Relier les notions de valeur absolue et d'inégalité
Les notions d'encadrement et de valeur absolue sont étroitement liées. Pour aller de l'une à l'autre, la notion de distance et une interprétation graphique peuvent s'avérer très utiles.
3. Vecteurs du plan
1.Placer un point défini par une égalité vectorielle
Pour placer un point défini par une égalité vectorielle, ondoit se ramener à une situation du type suivant : A et u étant donnés, placer B tel que AB = u. Le point B est alors l’extrémité du vecteur u lorsque celui-ci a pour origine A.
Le vecteur u peut lui-même être fabriqué à l’aide de divers vecteurs, auxquels on applique alors les règles de construction de vecteurs.
2.Transformer une égalité vectorielle
On dispose d’une égalité vectorielle. Il s’agit de la modifier pour en déduire une autre égalité vectorielle. Pour cela, on commence par bien observer la relation connue et la relation cherchée. La transformation se fait grâce à la relation de Chasles (quels que soient A,B et C, on a AC = AB + BC) et aux propriétés des égalités. Mais le choix des points à introduire, des vecteurs à regrouper et des modifications à effectuer résulte de la comparaison attentive entre l’égalité de départ et l’égalité cherchée. On veille, bien entendu, à respecter les règles de calcul sur les vecteurs.
3.Démontrer un alignement de points
Pour montrer que le point C appartient à la droite (AB), on cherche un réel k tel que AC = kAB.
4.Prouver qu'un point est le milieu d'un segment
Pour montrer qu’un point I est le milieu d’un segment [A,B], on doit choisir entre plusieurs égalités possibles qui, chacune, traduisent la propriété du milieu :
IA + IB = 0, et AI = AB/2, MI = (MA + MB)/2 pour M quelconque. Montrer que IA + IB et trouver que sa valeur est 0 : c’est souvent la méthode la plus pratique.
4.Coordonnées dans le plan
1.Déterminer les coordonnées d'un point à partir de celles d'un vecteur
Lorsque l’on cherche les coordonnées d’un point ou d’un vecteur, il est très souvent utile de les nommer, de façon à pouvoir utiliser ces noms dans des égalités, et ainsi déterminer leur valeur.
2.Savoir utiliser la condition de colinéarité de deux vecteurs
Pour savoir si deux vecteurs u(x,y) et v(x’,y’) sont colinéaires, on calcule le nombre xy’-x’y.
Si xy’-x’y =0 alors u et v sont colinéaires.
Si xy’-x’y ¹0 alors u et v ne sont pas colinéaires.
3.Calculer la distance entre deux points du plan
4.Savoir utiliser la condition d'orthogonalité de deux vecteurs
Pour montrer que deux droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires, il suffit de montrer que les vecteurs AB et AC sont orthogonaux.
Pour savoir si les vecteurs u(x,y) et v(x’,y’) sont orthogonaux, on calcule
xx’+ yy’.
Si xx’+ yy’=0 alors u et v sont orthogonaux.
Si xx’+ yy’
¹0 alors u et v ne sont pas orthogonaux.Il faut faire attention à ne pas confondre les deux propriétés :
5.Droites du plan
1.Tracer une droite dans le plan
2.Manipuler une équation cartésienne
3.Déterminer une équation cartésienne
6.Systèmes linéaires
1.Résoudre dans RxR un système de deux équations à deux inconnues
2.Résoudre graphiquement un système d'inéquations
3.Résoudre un système linéaire de trois équations à trois inconnues
7. Fonctions: Généralités
1. Etudier la parité d'une fonction
Pour étudier la parité d’une fonction f, on examine d’abord l’ensemble D sur lequel elle est définie.
Si D n’est pas symétrique par rapport à zéro (c’est à dire s’il existe un nombre x de D dont l’opposé -x n’appartient pas à D) , alors f n’est ni paire ni impaire.
Si D est symétrique par rapport à zéro (c’est à dire si tout nombre x de D a son opposé -x dans D), alors on calcule f(-x) pour un x quelconque de D. Il suffit, pour cela, de remplacer x par -x dans l’expression de f(x).
Alors on a prouvé que f n’est ni paire ni impaire.
La plupart des fonctions ne sont ni paires ni impaires. Cependant, lorsque f est paire ou impaire, il est préférable de s’en apercevoir, de façon à réduire l’intervalle d’étude de la fonction.
2. Etudier le sens de variation d'une fonction
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, a et b deux nombres de I tels que a 3. Utiliser le sens de variation d'une fonction Une fonction croissante sur un intervalle conserve le sens des inégalités. Une fonction décroissante sur un intervalle change le sens des inégalités. Si une fonction est croissante sur une partie d’un intervalle et décroissante sur une autre, alors on étudie les inégalités séparément sur chacune des parties de l’intervalle. 4. Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation Soit f une fonction, C sa courbe représentative dans un repère (O,i,j), et µ un nombre réel. Pour résoudre graphiquement l’équation f(x)=µ, d’inconnue x, on trace la droite D d’équation y = µ. Si elle ne coupe pas C : l’équation f(x) = µ n’a pas de solution. Si elle coupe C en des points A,B,…, alors les abscisses de ces points sont les solutions de f(x) = y. Pour résoudre graphiquement l’inéquation f(x)
Si C n’a pas de point au-dessus de D, l’inéquation n’a pas de solution.
Si C a des points au-dessus de D, alors leurs abscisses sont les solutions de f(x)
³µ.8.Fonctions usuelles
1.Utiliser le sens de variation des fonctions usuelles
2.Déduire une courbe d'une courbe de référence
3.Démontrer et vérifier graphiquement un résultat
9.Trigonométrie
1.Convertir une mesure d'angle en radian ou en degré
2.Trouver la mesure principale d'un angle
3.Utiliser la calculatrice en trigonométrie
4.Utiliser le cercle trigonométrique
10.Transformations du plan
1.Tracer l'image d'un point ou d'une figure par une transformation
2.Démontrer une propriété géométrique à l'aide d'une transformation
3.Trouver un ensemble de points
11.Géométrie dans l'espace
1.Trouver l'intersection de deux plans
2.Trouver l'intersection d'une droite et d'un plan
3.Prouver une orthogonalité
12.Statistique
1.Construire un graphique statistique
2.Calculer des effectifs et des fréquences
3.Calculer une moyenne et un écart type