Math et Magie !

Vous trouverez ici des paradoxes et autres curiosités mathématiques. Certains sont de simples tromperies, d'autres des propriétés qui sont bizarre mais bien mathématiquement correctes. Bien étudier chacun d'entre eux permet de progresser en math et de s'ouvrir l'esprit. Essayez, et vous verrez que c'est très amusant !

Probabilité peu probante

Trois prisonniers sont condamnés à mort, mais leur gardien leur annonce que l'un d'entre eux va être gracié. Chacun a donc une chance sur trois d'être épargné. Un des prisonniers demande alors au gardien lequel de ses deux camarades ne sera pas gracié (il y en a forcément un). Le gardien lui répond et le prisonnier en déduit qu'il a une chance sur deux d'être gracié.
La probabilité a-t-elle changé ?
Explication : Je n'ai pas encore trouvé la solution...


Le Lièvre et la Tortue

Bientôt sur cette page :
La fable revue par des maths qui trompent la logique...


Le nombre 1

Nous nous occuperons ici du nombre 0,99999... avec une infinité de 9 à la suite. Appelons le a.
a=0,99999...
100*a=99,99999...
100*a=99+a
a=99/99
Donc a=1
On est bien forcé de le croire, 0,99999... est une autre écriture du nombre 1, un peu plus longue il faut bien le reconnaître.
Solution : Il n'y a ici aucune astuce, la démonstration est tout a fait correcte. On utilise juste le fait qu'il y a une infinité de 9 après la virgule. Partons du nombre 0,9; celui-ci est assez proche de 1, mais si on rajoute un 9, 0,99 est encore plus proche de 1. Plus on rajoute de 9 et plus on se rapproche de 1. Donc si on rajoute une infinité de 9, il est normal qu'on soit infiniment proche de 1. Et en passant à la limite, 0,99999...=1.


Calcul mental

• Pour obtenir le carré d'un nombre entier terminer par 5, il faut multiplier le nombre des dizaines par le nombre des dizaines augmenté d'un, et écrire 25 à la droite du résultat.
  Démonstration : soit x un nombre entier terminé par 5, on peut trouver d tel que x=10*d+5. d est le nombre des dizaines.
  x=10*d+5
  x^2=(10*d+5)^2   (note : x^2 = x puissance 2 = x au carré)
  x^2=100*d^2+100*d+25   (égalité remarquable)
  x^2=100*d*(d+1)+25   (c'est bien ce qu'on voulait !)
  Exemple : 35^2=100*3*4+25=1225 (3*4=12, on rajoute le 25)
  
• Pour obtenir le produit de deux nombres entiers compris entre 10 et 20 (20 exclus), il faut ajouter à l'un des nombres les unités de l'autre, multiplier le résultat pas 10, et ajouter le produit des chiffres des unités des deux nombres.
  Démonstration : Si u et v sont les chiffres des unités, il faut en fait calculer (10+u)*(10+v).
  (10+u)*(10+v)=100+10*u+10*v+u*v   (on a juste développé)
  (10+u)*(10+v)=10*(10+u+v)+u*v   (Et voilà !)
  Exemple : 14*17=10*(14+7)+4*7=210+28=238
  
• Pour récapituler, calculons 135^2 :
  135^2=100*(13*14)+25=100*(10*(13+4)+3*4)+25=100*(170+12)+25=18225

Multiplications

Voici une méthode inhabituelle pour effectuer des multiplications.
Prenons un exemple : 83*64
On multiplie d'abord les chiffres dizaines des deux nombres : 8*6=48
Puis la mêchose avec les unités : 3*4=12
On écrit ainsi :

     83
    *64
    ----
     48
     12
    4812

On continue en faisant la différence des chiffres de chaque nombre : 8-3=5 et 6-4=2
On les multiplie : 5*2=10
Que l'on soustrait ainsi :

     83
    *64
    ----
     48
     12
    4812
    -10

On aditionne tout ça et on obtient :

     83
    *64
    ----
     48
     12
    4812
    -10
    ----
    5312

Vous pouvez vérifier, 83*64=5312 !
Cette méthode permet aux ordinateurs de gagner du temps, puisque il ne faut plus faire que 3 multiplications au lieu des 4 habituelles.
Pour la démonstration, réfléchissez-y; j'y répondrai la semaine prochaine...

...

Voici un site bien fait et bien utile en cas de trou de mémoire : L'intégrale des Maths